一、投资组合理论

马科维茨（Markowitz, 1952）提出了著名的投资组合理论，该理论又被称为均值方差模型（MV模型）。均值方差模型假设证券投资收益率是一个正态分布的随机变量，这个随机变量的样本均值作为期望收益率的度量，随机变量的样本标准差作为风险的度量。投资者的决策过程就是期望收益率和风险的权衡。

（一）投资组合理论的假设条件和隐含条件

传统投资组合理论具有以下假设条件：（1）投资者只关注投资的收益率这个随机变量的均值和方差。（2）投资者是理性“经济人”，投资者也是风险厌恶的。“经济人”假设继承了经济学的基础假设，“投资者风险厌恶”假设是现代金融学的学科假设。（3）投资者的目标是预期效用最大化。由于构成投资者效用函数的变量仅包含期望收益率和方差，期望收益率对投资者的效用产生正向影响，方差对于投资者的效用产生负向影响，因此投资者需要在风险和收益权衡的基础上实现总效用最大化。（4）资本市场是有效的。

投资组合理论的隐含条件可以通过以下数学过程推导出来：设投资者的初始财富为W₀，投资的收益率为R，期末投资者的财富值为（1+R）W₀。假设投资的收益率R是一个离散型随机变量，随机变量的数学期望值为μ₀，方差为。投资者在投资中获得的效用是收益率R的函数，即U（R）。对于效用函数在自变量等于均值μ₀处进行二阶泰勒展开，有：

式（1.3）中，ο[（R-μ）3]是高阶无穷小。

如果投资者只关注均值和方差，即只有均值和方差能够组成效用的表达，那么式（1.3）中二阶导数以上的变量都被视为0，即高阶无穷小ο[（R-μ）3]等于0。正是由于上述原因，均值方差组合理论的一个隐含条件是：投资者的效用函数是收益率的二次函数。根据式（1.3）的数学形式，可以得到均值方差组合理论的另一个隐含条件是：证券收益率的均值和方差各自独立地影响效用。

（二）经典均值方差组合理论的数学模型

假设证券市场中有n个证券，每个证券的收益率都是离散型的随机变量。例如：市场中，证券i的收益率R_i的分布为（x₁，p₁；x₂，p₂；…；x_i，p_i；…；x_m，p_m），其中x_i为观测值，p_i为概率；有E（R_i）=μ_i，。

组合的证券期望收益率矩阵为R，每个证券收益率的协方差矩阵为V，证券的权重矩阵为X，单位矩阵为I。特别地，设投资组合的收益率为R_P，组合的风险为σ_P，有以下矩阵：

由n个证券构成的投资组合，组合的收益和组合的风险方程分别为：

公式（1.5）中，代表证券的个别风险，代表组合的系统性风险。

通过简单的数学演绎发现：组合中，证券的个别风险可以通过多样化的投资组合消除掉，组合中的系统性风险只能通过衍生产品进行管理。

风险厌恶型的理性投资者选择的投资组合，实际上就是投资者在约束条件下，追求组合风险的最小化。上述决策过程可以写成下列数学表达式：

约束条件为：

上述数学问题是二次规划问题，可以通过构建拉格朗日函数的方式求解。设A=RTV-1I，B=RTV-1R，C=I T V-1 I，D2=BC-A2，证券市场中全部证券的最小方差集合（投资外边界）的方程为：

方程（1.9）是风险厌恶型的理性投资者所选择的投资边界，是双曲线的右半支（见图1.1）。

假设市场中还存在着无风险资产，无风险资产的收益率为R_f，无风险资产收益率序列的方差为0，无风险资产收益率序列与其他资产收益率序列的协方差为0。引入无风险资产后，投资者新的投资边界是由无风险资产引出的相切于最小方差集合的射线（见图1.1），这条射线被称为资产配置线（资本市场线），投资者在资产配置线上对风险资产和无风险资产进行配置。资产配置线与最小方差集合的切点所代表的组合m₀，是资产配置中唯一被投资者选中的风险资产组合。m₀点的坐标为：

上述公式中，根据金融学理论有：。以上是经典投资组合理论的数学模型。

（三）投资组合理论的学术贡献和投资组合模型的改进发展

投资组合理论引发了经典金融学研究的数学革命(4)。作为经典金融学理论上的开创性成果，投资组合理论做出了以下学术贡献。首先，均值方差组合模型利用收益率序列的方差成功地解决了风险度量的问题，这使得风险度量成为具有明确金融学含义的显性结果（朱书尚，等，2004）。其次，投资组合理论明确提出了“投资者风险厌恶”这个假设条件，这个假设条件成为金融学科的基础假设，它是金融学科与其他经济学下属二级学科进行区别的重要标志。再次，投资组合理论开创了风险和收益均衡的研究方法，这种方法抓住了金融投资中的主要矛盾，完美地配合了金融学科的基础假设。最后，这种方法被学界作为经典金融学的研究范式。

均值方差模型的主要缺点在于：首先，把投资者效用函数定义为二次函数，这意味着采用均值和方差就能够完全代表投资收益率这个随机变量，这种情况只有在投资收益率呈现正态分布时才能成立。资本资产定价模型（CAPM）在此基础上进一步要求资产收益率的分布在时间的进程中具有稳定性，并且这一分布状态能被投资者所认知（Fama & French, 2004）。然而实证结果发现，资产收益率不符合联合正态分布的特征（Fama, 1963；Yan & Han, 2019）；资产收益率的分布不具有稳定性，收益分布状态呈现出较强的回复性特征（Barberis, Jin, & Wang, 2021）；收益率分布的不确定性对资产收益率的高低产生交叉影响（Chae & Lee, 2018）；收益率分布的不确定性与市场的风险无关，但是它显著影响了市场的超额收益率（Anderson, Ghysels, & Juergens, 2009）；收益率分布的时变特征可以解释为投资者对于市场悲观和乐观的投资预期（李腊生，翟淑萍，关敏芳，2011）。其次，均值方差模型把投资者行为定义得过于简单，没有考虑到投资者之间的差别，也没有考虑到外界环境对投资者的影响。最后，方差的计算方法是把收益率的正负偏移都作为风险因素，这实际上夸大了风险值。

为了克服均值方差模型对于风险度量的缺点，学术界一直积极地对风险的计算方法进行改进。在风险度量的改进上，马科维茨（Markowitz, 2011）认为，下半方差能够更加精确地度量风险的大小；实际上，在收益率变量正态分布的条件下，下半方差与方差所构建的组合模型一致，下半方差仅仅是方差的一半。菲什伯恩（Fishburn, 1977）使用下偏矩作为风险的度量方法，并构建了基于下偏矩的投资组合方程，下偏矩的定义如下：

当τ代表目标收益率时，α=1计算的是预期下行风险，α=2计算的是目标下半方差；当τ代表期望收益率时，α=1计算的是绝对半离差，α=2计算的是标准下半方差。离散形式的数学表达式为：

其中

或者

今野藤原浩和山崎广明（Konno & Yamazaki, 1991）使用平均绝对离差作为风险的度量方法，并构建了收益和风险的均衡方程。平均绝对离差的数学表达式为：

其中

今野藤原浩、白川藤原浩和山崎广明（Konno, Shirakawa, & Yamazaki, 1993）尝试把偏度加入风险计量中，构建了基于方差和偏度的三次规划模型，目前可以利用计算机技术对三次规划模型进行数值求解。20世纪90年代，JP摩根银行提出了风险价值的VaR计量的方法，风险被定义为在一定置信区间内最坏情况下的损失，该模型后来发展成为条件风险值模型（CVaR）。

均值方差模型的另一个改进方向是把市场摩擦因素加入模型中；市场摩擦主要包括交易成本和税收，市场摩擦的表现形式有固定成本、固定比率成本和可变比率成本等，市场摩擦模型可以利用计算机进行数值求解。学术界还在研究参数不确定情况下的贝叶斯投资组合理论，该理论可以把投资者的行为因素加入模型中。有关上述改进，请参考郑振龙和陈志英（2012）、赵庆和王志强（2015）等文献。