第5章　梁弯曲时的位移

一、填空题

1．如图5-1所示简支梁，已知：P作用在C点时，在C，D点产生的挠度分别是δ₁，δ₂。则当C点和D点同时作用P，在D点引起的挠度δ_D=______。[北京科技大学2011研]

图5-1

【答案】

【解析】C点作用P时，D点挠度为；D点作用P时，D点的挠度为，进行叠加有D点的挠度为。

2．若图5-2（a）所示梁的中点C挠度为（已知EI为常数），则图5-2（b）梁的中点挠度为V₂=______。

图5-2

【答案】

【解析】图5-2（a）所示简支梁中点C的挠度将图5-2（b）变换为图5-2（b-1）和图5-2（b-2）的两种情况叠加。图5-2（b-2）中由结构对称，载荷反对称知其变形亦反对称，故中面位移为零，C点位移仅有图5-2（b-1）下的载荷产生，故：

3．梁挠曲线近似微分方程为其近似性是______和______。[中国矿业大学2009研]

【答案】梁的挠曲线为一平坦曲线；略去剪力的影响。

【解析】由，当假设梁的挠曲线为一平坦的曲线，故于1相比十分微小而可略去不计，可近似写为，此式又由于略去了剪力的影响，并在中略去了项，故称为梁的挠曲线近似微分方程。

二、选择题

如图5-3所示的静定梁，若已知截面B的挠度为f₀，则截面C的挠度f_c和转角θ_c分别为（　  ）。[西北工业大学2005研]

图5-3　  图5-4

【答案】B

【解析】作变形后挠曲线如图5-4所示，由比例关系知，BCD段转过的角度即为。

三、计算题

1．试写出图5-5所示等截面梁的位移边界条件及连续条件，并定性地画出梁的挠曲线形状。[同济大学2001研]

图5-5　 图5-6

解：图5-5所示等截面梁的位移边界条件为

当x=0时，y_A=θ_A=0；当x=2a时，y_c=0。

位移连续条件为：

作出梁的弯矩图，如图5-6所示，AB段弯矩为正，为凹曲线，BCD段弯矩为负，为凸曲线。A截面为固定端，该截面挠度和转角均为零。C截面为活动铰，挠度为零，B截面为中间铰，满足位移连续而转角不连续条件。

综上可绘制梁的挠曲线形状，如图5-5中虚线所示。

2．如图5-7所示梁AB，BC，在B截面由中间铰连接。设AB段梁弯曲刚度为，BC段梁弯曲刚度为，且。

求：在图示载荷和尺寸下，中间铰B两侧截面的相对转角θ。[北京理工大学2006研]

图5-7

解：将中间铰解开，受力如图5-8所示。

图5-8

考虑BC段可得：

应用叠加法，则对于AB杆：

对于BC杆可考虑为两端铰支的情况，如图5-8所示。

3．如图5-9所示，弯曲刚度为EI的梁，承受均布载荷q及集中力F。已知q，l，a，求：

（1）集中力作用端挠度为零时F的值；

（2）集中力作用端转角为零时F的值。[中国矿业大学2009研]

图5-9

解：沿B截面将外伸梁分成两部分，AB为简支梁，梁上的力有均布力q，截面B上还有剪力F和弯矩M=Fa；BC梁为固定在横截面B的悬臂梁。

（1）集中力作用端挠度为零，即知在均布载荷q和弯矩M作用下引起的位移和在集中力F作用下引起C的位移相等，即

①，其中根据叠加法知：，则：

 

②在集中力F作用下引起的位移：

代入协调方程可得

解得

（2）在截面C处由均布载荷q和弯矩M作用下引起的转角为

在集中力F作用下引起的转角为

代入协调方程可得

解得