第二节 传递函数

传递函数是在拉氏变换基础上引入的描述线性定常系统或线性元件的输入输出关系的一种最常见的函数。传递函数的概念只适用于线性定常系统或线性元件。传递函数全面地反映了线性定常系统或线性元件的内在固有特性。

一、传递函数的定义

传递函数，即线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

设线性定常系统的微分方程一般式为

式中，c(t)为系统输出量，γ(t)为系统输入量，a₀、a₁、a₂…a_n和b₀、b₁、b₂…b_m均为由系统结构、参数决定的常数。

设初始值均为零，对式（1-5）两边进行拉氏变换，得

[a₀sn+a₁sn-1+…+a_n-1s+a_n]c(s)=[b₀sm+…+b_m]r(s)

则系统的传递函数G(s)为

显然，这样求得的系统传递函数和系统（或环节）的初始条件为零的微分方程是等价的。基于这个概念，可用以s为变量的代数方程来表示系统的动态特性。传递函数分母中s最高阶数为n，则这种系统叫n阶系统。

有了传递函数的概念以后，可计算输出量的时间函数。首先，它把输入量的时间函数r(t)变换成象函数r(s)，然后再乘以系统或环节的传递函数G(s)，便得出输出量的象函数c(s)，最后再反变换，即是所求的输出量的时间函数c(t)。

前面提到，传递函数是在零值起始条件下定义的。在实际工作中如果遇到起始条件不为零的系统或环节，式（1-6）仍是适用的。因为在研究一个系统或环节时，总是假定该系统原来处于稳定平衡状态，若不外加扰动，系统就不会发生任何变化。系统中各个变量都可用扰动前的稳态值作为起点即零点。

二、典型环节的传递函数

在自动控制系统中，通常把除了控制系统对象之外的其他组成部分，诸如调节单元、执行机构和测量单元等统称为控制仪表。不论控制仪表是机械式、电动式、液压式还是气动式的，它们都是由一些最基本的环节组成。有了对单个典型环节的了解，就有了对整个系统作深入了解的基础。下面介绍在控制系统中最为常见的典型环节的传递函数。

1.比例环节

比例环节又称为放大环节。由运算放大器组成的比例放大电路如图1-1所示。

图中 。

这样比例环节的输出量u_o(t)与输入量u_i(t)之间的关系为

式中比例系数。由于输出电压和输入电压的符号相反，因此称为反相放大。

对式（1-7）两边取拉氏变换，得

U_o(s)=K·U_i(s)

比例环节的传递函数G(s)为

2.积分环节

图1-2所示是采用运算放大器实现的积分环节。

根据运算放大器的有关性质，有

在零初始条件下，两边取拉氏变换，得

积分环节的传递函数G(s)为

3.惯性环节

图1-3所示的R-C电路就是一个惯性环节。由图可知

对上面两式分别取拉氏变换，并取零初始条件，可得

则

令T=RC，称T为时间常数。则惯性环节的传递函数G(s)为

4.微分环节

图1-4示出了用运算放大器构成的实际微分电路图。从图中可以看到：

因此

令，T=R₁C，这样实际微分电路的传递函数G(s)为

若T<<1，则可得理想微分环节的传递函数，即

G(s)=KTs

令T_d=KT，T_d称为微分时间，则

G(s)=T_ds

可见，实际微分环节是在理想微分环节上增加了一个惯性环节。

5.纯延迟环节

所谓纯延迟，即输出毫不失真地重现输入的变化，但有恒定时间延迟，如图1-5所示。

因为纯延迟，输出完全复现输入量：c(t)=γ(t-τ₀)

由实位移性质可得

故纯延迟环节的传递函数G(s)为