4.1 波矢空间半导体载流子

4.1.1 波矢空间半导体载流子的统计分布

当T=0K时，电子动能为0，占据能量最低的量子态。随着温度的升高，电子动能增加，有一部分电子跃迁到较高的能级，在原来的能级处留下空穴。

以下讨论半导体处于热平衡状态下的载流子行为。所谓热平衡状态，是指在给定温度下，没有光照、电场或压力等外界干扰的稳定状态。在热平衡状态下，半导体内各点的温度T_s相同，并且与环境温度T_a相等，载流子具有相同的平均动能，其分布函数f（k，x）是稳定的，与空间位置r无关，没有宏观的载流子流动。

在热平衡状态下，描述半导体中微观粒子的统计分布主要有费米-狄拉克分布和麦克斯韦-玻耳兹曼分布两种。

1.费米-狄拉克分布

在温度为T的热平衡状态下，电子占据能量为E导带能级的概率，即导带电子的分布函数f_c（k，r），可由费米-狄拉克分布函数f₀[E（k），E_F，T]表述，f_c（k，r）与kT、E（k）和E_F相关。

在一维情况下，导带电子的分布函数为

式中：k为玻耳兹曼常数；T为热力学温度；E_F为费米能级。费米能级的物理意义是，在该能级上的一个状态被电子占据的概率为1/2。

在温度为T的热平衡状态下，空穴占据能量为E的导带能级的概率，即价带空穴的分布函数f_v（k，x），也可由费米-狄拉克分布函数f₀[E（k），E_F，T]表述：

2.麦克斯韦-玻耳兹曼分布

在费米能级E_F和导带底E_C、价带顶E_V相距很远时，费米-狄拉克分布函数可简化为麦克斯韦-玻耳兹曼分布函数。

当能量E大于费米能级数倍kT，即满足E-E_F?kT时，费米分布函数f（E）中的指数项。例如，当E-E_F=3kT时，，即。此时，导带的电子分布函数为

当能量E小于费米能级数倍kT，即满足E_F-E?kT时，费米-狄拉克分布函数f（E）中的指数项。例如，当E-E_F=-3kT时，将小于0.05。这时，价带的空穴分布函数为

式（4-3）和式（4-4）通常称为玻耳兹曼近似。

利用麦克斯韦-玻耳兹曼分布函数，可简化式（4-1）和式（4-2），将其用于热平衡状态的电子浓度n和空穴浓度p的计算。

4.1.2 波矢空间半导体的载流子浓度和电流密度

1.载流子浓度表达式

为求得半导体中的电子浓度（即单位体积中的电子数），首先需要计算波矢空间d³k的电子浓度dn（r），该浓度由单位体积内允许的态密度g（k）与电子占据此波矢空间d³k的概率f（k，r）的乘积得出。导带中的电子浓度n（r）可在导带波矢空间通过积分得到。

在一维情况下，分布函数f（k，x）描述在空间位置x处载流子占据波矢为k量子态的概率。在波矢空间，体积元d³k内的导带电子浓度为

式中，g（k）为k空间中单位体积的状态密度。

导带电子浓度为

式中，积分限CB表示对整个导带波矢空间积分。

由于空穴是电子空缺的量子态，所以一个量子态不是被电子占据，就是被空穴占据。如果电子的分布函数为f（k，x），则空穴的分布函数为[1-f（k，x）]。价带的空穴浓度为

式中，积分限VB表示对整个价带波矢空间积分。

分布函数f（k，x）和状态密度g（k）可以表述为以波矢k为变量的函数，也可表述为以能量E为变量的函数，通常多采用能量E为变量的函数，但这里先采用以波矢k为变量的函数形式，主要是考虑在准平衡条件下推导用费米能级梯度表述的载流子电流公式的需要。下面将会见到，如果采用波矢k的函数形式，利用函数的奇偶性，可明显简化公式推导。

2.载流子电流密度表达式

半导体中载流子所产生的宏观电流密度为载流子速度υ与载流子浓度n（x）的乘积的积分。因此，由式（3-43）和式（4-5）可推导出导带的电子电流密度J_n（x）为

式中，积分限CB表示对整个导带波矢空间积分。

由于电流J_n（x）的方向和空穴运动方向相同，与电子运动方向相反，所以式（4-8）中最右侧部分的前面为负号。

类似地，可得价带的空穴电流J_p（x）为

式中，积分限VB表示对整个价带波矢空间积分。

按照式（4-8）和式（4-9），利用分布函数对波矢进行积分，可求得热平衡状态的载流子电流。由于能量E（k）是关于波矢k的偶函数，因此g（k）和f（k，x）也是关于波矢的偶函数。但其积分函数kg_c（k）f（k，x）和kg_v（k）[1-f（k，x）]却成为关于波矢的奇函数，导致式（4-8）和式（4-9）的积分为0，J_n（x）=J_p（x）=0，这表明在热平衡状态的半导体中，净电流为0。