1.2 随机事件的概率
在一个随机试验中,往往有多个随机事件,有些事件出现的可能性大些,有些出现的可能性小些. 事件出现的可能性大小是客观存在的,它揭示了随机现象的内在规律性.
为了研究事件发生的可能性,就需要用一个数字来描述这种可能性的大小. 我们称描述一个事件出现的可能性大小的实数为该事件的概率. 事件A,B,C,…的概率分别用P(A),P(B),P(C),…表示.
对于随机试验,给定的事件A发生的概率P(A)到底是一个什么数?怎样能求出这个数?本节我们就来讨论这些问题.
1.2.1 概率的公理化定义
任何一个数学概念都是对现实世界的抽象,这种抽象使得其具有广泛的适用性. 从概率论有关问题的研究算起,经过近三个世纪的漫长探索历程,人们才真正完整地解决了概率的严格数学定义. 1933年,前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫,在他的《概率论的基本概念》一书中给出了现在已被广泛接受的概率公理化体系,第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上.
定义1.1 设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一个事件A赋于一个实数,记为P(A),若P(A)满足下列三个条件(称为概率的三条公理):
(1)非负性:对每一个事件A,有
![39451-00-016-10](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-016-10.jpg?sign=1739945366-Cvdz3LFrlb52al6uacVjZlfHse0xA2dy-0-e4f9f93277620ace8146057060fbf0d8)
(2)规范性:对于必然事件S,有
![39451-00-016-11](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-016-11.jpg?sign=1739945366-KgQOII4kM4QfcAmet1MciQoRwy0afeAN-0-49ca88999b2d5e520b1ed5fc82422fea)
(3)可列可加性:设A1,A2,…是两两互不相容的事件,即若i≠j,则AiAj=ø,i,j=1,2,…,有
![39451-00-016-12](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-016-12.jpg?sign=1739945366-qaJSJe9J5fKxC5q62MtX2mOFyqQ9mFT6-0-ef6c8a1eb386c3cb2f07e43b62ba5583)
则称P(A)为事件A的概率.
1.2.2 概率的性质
性质1
![39451-00-016-13](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-016-13.jpg?sign=1739945366-nvXeu2SjX5tSZo1WdS0GwVIv90jsJ577-0-e7dc4cfdcb25dc4f515af011914cd47e)
证 令An=ø(n=1,2,…),则,且AiAj=ø,i≠j,i,j=1,2,…,由概率的可列可加性得
![39451-00-017-01](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-017-01.jpg?sign=1739945366-3aYgrMDykR6ea9C7aXwSP8TEVjVAr1kT-0-8e6b7ad99c3b01ef76bcca3ff088ee8b)
由概率的非负性知,P(ø)≥0,故由上式知P(ø)=0.
性质2(有限可加性) 若A1,A2,…,An是两两互不相容的n个事件,则有
![39451-00-017-02](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-017-02.jpg?sign=1739945366-P9WESpG2fPdIYwsFa36I2kPWzKPfHCji-0-adf49a930ac7b168ec16e5f1cbc3c65e)
上式称为概率的有限可加性.
证 令An+1=An+2=…=ø,即有i≠j,AiAj=ø,i,j=1,2,…,则有
![39451-00-017-03](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-017-03.jpg?sign=1739945366-ezhOTbZtMnGeBqwwKYU2oOXB5hfddMAR-0-bb54b131ab5aedba44d64222383127c3)
性质3(减法公式) 设A、B是两个事件,则有
![39451-00-017-04](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-017-04.jpg?sign=1739945366-py8KubkCa2u8dHu7rLdO4gHHFAlb22ww-0-6fb4ec6bf6a496ff94cb2e259ec7c113)
特别地,若A⊂B,则P(B-A)=P(B)-P(A),从而P(B)≥P(A).
证 B=AB∪(B-A),且AB∩(B-A)=ø,再由概率的有限可加性,得
P(B)=P(AB)+P(B-A)
故
P(B-A)=P(B)-P(AB)
若A⊂B,则A∩B=A,由减法公式得
P(B-A)=P(B)-P(A)
又由概率的非负性,P(B-A)≥0知
P(B)≥P(A)
性质4 对于任一事件A,
![39451-00-017-05](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-017-05.jpg?sign=1739945366-jn5TsOV9tDgePuGBHa3MCDkYkI1GSlmD-0-aef8a1d6e098af39dbe17ef911a3fa63)
证 因A⊂S,由性质3得
P(A)≤P(S)=1
性质5(逆事件的概率) 对于任一事件A,有
![39451-00-017-06](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-017-06.jpg?sign=1739945366-T34epqjWAdKKdnCUDrLTKY6lR1pLjBSO-0-d74d9220995641a3c3458137d675e211)
证 因,且
,得
性质6(加法公式) 设A1,A2,…,An为任意的n个事件,则
![39451-00-017-10](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-017-10.jpg?sign=1739945366-MeaQQp2EqQpV6V22UA8fTkBQDXX09LDg-0-4baf9868194fdcc9c6bf5022d15f8ce7)
特别地,对于任意两事件A,B,有
![39451-00-017-11](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-017-11.jpg?sign=1739945366-z0zlg1L1uMP97qAkyuiqqKaC6babUp8q-0-54d51d9c036602a2fe3630b31c1cbd38)
对于三个事件A,B,C,有
![39451-00-017-12](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-017-12.jpg?sign=1739945366-147PX6w2Tjdg2N0xFz5xcUmNTarEeFro-0-0e992e155a7122f768b1f68377866e50)
证(仅证两个事件的情况) 因
A∪B=A∪(B-AB)
且
A(B-AB)=ø,AB⊂B
故
P(A∪B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
例1.5 已知,P(B)=0.4,求
(1)P(AB);(2)P(A-B);(3)P(A∪B);(4).
解 (1)因为,且AB与
是不相容的,故有
于是
![39451-00-018-07](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-018-07.jpg?sign=1739945366-mWq59Prm0vGmb7sORxCDjT2jR0GqByTP-0-9d4b56ef1a3b0a665d89bb21dc478c8a)
例1.6 已知P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,P(B-A)=0.2,求
解 由P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.7-P(AB)=0.3得
P(AB)=0.4
故
![39451-00-018-11](https://epubservercos.yuewen.com/05C59E/17404909304239006/epubprivate/OEBPS/Images/39451-00-018-11.jpg?sign=1739945366-TKCbUrEHqsi06aoMYjdb5o7SH7n8s0jX-0-9396c0fa60d734d9d38d4340245bc49e)
例1.7 设AB⊂C,试证明P(A)+P(B)-P(C)≤1.
证 由AB⊂C,所以
P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)
又由
P(A+B)≤1
得
P(C)≥P(A)+P(B)-P(A+B)≥P(A)+P(B)-1
整理得
P(A)+P(B)-P(C)≤1
一般来说,对于一个随机试验E,要定义其中事件的概率并不容易,只有某些特殊的情况下,定义概率比较容易,下面就介绍三种特殊的概型.