6.2　向量的坐标形式及其线性运算

本节重点知识：

1.数轴上向量的坐标及其运算.

2.向量的直角坐标及其运算.

3.平移公式和中点公式.

6.2.1　数轴上向量的坐标及其运算

向量的几何表示，具有形象、直观的特点，但在计算上却不够方便、准确.下面我们学习向量的另一种表示方法——向量的坐标表示法.

首先我们研究数轴上的向量.

如果是数轴上的向量，它的起点在原点，那么向量与终点P之间，存在着一一对应关系.如果数轴的单位向量为，根据向量平行的充要条件，必然有一个实数x，使得而且x值随着点P位置的不同而不同，就是说向量点P，实数x三者之间是一一对应的.因此，我们可以用这个实数x的值表示向量.这时，我们就把实数x称做向量在数轴上的坐标.也称点P在数轴上的坐标.

例如向量，向量在数轴上的坐标是3，点A在数轴上的坐标也是3；向量时，向量在数轴上的坐标是-5，点B在数轴上的坐标也是-5.

当数轴上的向量的起点A不在原点时，如果在数轴上坐标分别为xA，xB，则不论A，B，O三点位置如何，都有于是

上面我们研究了数轴上的向量如何用坐标表示.接下来研究数轴上向量的长度与方向和坐标的关系.

当数轴上的向量起点在原点，坐标为x时的长度，的方向由x的符号确定.x>0时，表示与的方向相同；x<0时，表示与的方向相反.

当数轴上的向量起点不在原点，而点A和点B的坐标分别为xA和xB时，当xB-xA>0时，与的方向相同；当xB-xA<0时，与的方向相反.

例1　已知：数轴的单位向量为，点A，B在数轴上的坐标分别为7，-1.求：

对于数轴上的向量，我们可以利用它们的坐标来进行线性运算.

设是数轴上的向量，它们在数轴上的坐标分别为x1，x2，则

由此我们可以得到以下结论：

（1）数轴上两个向量的和的坐标等于这两个向量的坐标的和；

（2）数轴上两个向量的差的坐标等于被减向量的坐标减去减向量的坐标；

（3）实数k与数轴上向量的乘积的坐标等于这个向量坐标的k倍.

例2　已知数轴上的向量与的坐标分别为4和-3，求下列向量在数轴上的坐标.

解　（1）在数轴上的坐标是2×4+6×（-3）=-10；

（2）在数轴上的坐标是5×4-3×（-3）=29.

练习

1.已知数轴的单位向量为，点A，B，C在数轴上的坐标分别为-4，2，3，求：

2.已知数轴上的向量当起点M的坐标为下列数值时，求N的坐标.

（1）xM=0；　　（2）xM=2；　　（3）xM=-3.

3.已知数轴上向量的坐标分别为-7，4，求下列向量在数轴上的坐标.

6.2.2　向量的直角坐标及线性运算

在平面上，建立一个直角坐标系xOy，设x轴上的单位向量为，y轴上的单位向量为，则x轴上的向量总可以表示成x的形式，y轴上的向量总可以表示成y的形式，其中x，y分别是它们在数轴上的坐标.

设是直角坐标平面上任一向量.如图6-16所示，以AC为对角线，做一矩形ABCD，使AB，AD分别与x轴，y轴平行，则向量为x轴上的向量，为y轴上的向量.因此，它们可以分别表示为x与y.由向量加法的平行四边形法则可以知道，，即

事实上，我们可以证明，平面直角坐标系中的任一向量都可唯一地表示成一个x轴上的向量与一个y轴上的向量相加的形式.即

我们把称做的坐标形式，把称做在x轴上的分向量，y称做在y轴上的分向量.把有序实数对（x，y）称做向量c在直角坐标系中的坐标，记做，其中x称做的横坐标，y称做的纵坐标.

例如，就说的坐标是（-2，3），可写做就说的坐标是（0，0），可写做

例1　根据向量的坐标形式，写出它们的坐标：

两个向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标分别相等.即

如果那么且y1=y2.

例2　已知向量，且求m，n的值.

解　根据已知，且由向量相等的充要条件，得解之，得m=1，n=1.

利用向量的坐标进行向量的线性运算，更加准确、简便.

例3　已知计算：（1）（2）（3）

从例3中，不难看出，向量的线性运算，实质上是向量坐标之间的运算.

一般地，若，则有

想一想

怎样用语言表述上面三个运算法则？

例4　已知，，，求

例5　已知向量

求证：（1）若x1y2-x2y1=0，则（2）若则x1y2-x2y1=0.

证明　（1）因为，即x1，y1不全为0，不妨设x≠0，则由x1y2-x2y1=0，得

设，则x2=kx1，y2=ky1.

所以（x2，y2）=（kx1，ky1）=k（x1，y1），

即

所以

（2）因为

所以，

即　（x2，y2）=k（x1，y1）=（kx1，ky1）.

根据向量相等的条件，有x2=kx1，且y2=ky1

又因为即x1，y1不全为0，不妨设x≠0，

所以代入y2=ky1，

得，即x1y2-x2y1=0.

练习

1.已知向量，写出它们的坐标：

2.已知向量的坐标，写出它们的坐标形式：

（1）（-2，3）=；　　（2）______=；

（3）=______；　　（4）（0，5）=______；

（5）（2，5）=______；　　（6）（0，-3）______=；

（7）（2，0）______=.

3.已知，且，则m=______，n=______.

4.已知，计算：

5.已知时，求下列x的值.

6.2.3　平移公式和中点公式

我们把起点在原点的向量称做位置向量.显然，每个位置向量由它的终点唯一确定.

在图6-17中，设P点坐标为（x，y），则向量

就是说位置向量的坐标等于它的终点坐标.

在图6-18中为平面上任一向量，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），那么向量于是根据向量减法的三角形法则，得到

就是说，平面上任一向量的坐标等于它的终点的坐标减去起点的坐标.

例1　已知点M，N的坐标分别为（7，-2）和（-3，1），求向量和的坐标.

例2　如图6-19所示，已知▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（1，-2），（3，0），（-1，3），求顶点D的坐标.

解　点D的坐标就是向量的坐标，而

所以D点坐标为（-3，1）.

我们知道，一个平面向量经过平行移动，它的长度、方向均不会改变，其坐标也没改变.但是，它的起点、终点坐标却都发生了变化.

如图6-20所示，设向量的起点在原点，终点P的坐标为（x，y），我们让平行移动，使其起点从原点O（0，0）移到A（a，b），这时，其终点从P（x，y）移到了B（x′，y′）.

所以（x′，y′）=（a，b）+（x，y）=（a+x，b+y）

我们称之为平移公式.

想一想

当向量起点从（a，b）移到（0，0）时，向量的终点从（x′，y′）移到何处？

例3　（1）将向量的起点从（0，0）移到（1，2），求终点坐标；

（2）向量的起点从（0，0）移到A点后，终点坐标是（2，-1），求A点坐标.

解　（1）这里x=-3，y=4，a=1，b=2.

根据平移公式，得

x′=x+a=-3+1=-2，　y′=y+b=4+2=6.

所以，平移后向量的终点坐标为（-2，6）.

（2）这里x=5，y=-3，x′=2，y′=-1.

根据平移公式，得

a=x′-x=2-5=-3，　b=y′-y=-1-（-3）=2.

所以，A点坐标为（-3，2）.

如果线段AB的两个端点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），设AB的中点M的坐标为（x，y），显然有，

其中

于是x-x1=x2-x，y-y1=y2-y.

即

我们称之为中点公式.

例4　计算下列各题：

（1）已知A（3，-1），B（-5，7），求AB的中点M的坐标；

（2）已知A（4，-2），B（m，n），AB的中点M的坐标为（-2，6），求m，n.

解　（1）设M（x，y），根据中点公式，得

所以M点坐标为（-1，3）.

（2）根据中点公式，得

解之，得m=-8，n=14.

练一练

直接写出连结下列两点的线段的中点坐标：

（1）A（3，-3），B（-1，5），则中点M为（　）；

（2）C（4，-6），D（-3，2），则中点M为（　）；

（3）P（-3，5），Q（7，3），则中点M为（　）；

（4）O（0，0），E（a，b），则中点M为（　）.

练习

1.已知M，N两点的坐标，求的坐标.

（1）M（4，2），N（-1，-3）；　　（2）M（-5，3），N（0，1）；

（3）M（1，2），N（2，3）；　　（4）M（-1，-2），

2.已知A，B的坐标分别为（2，-3），（4，1），把的起点移到（-2，1）后，求B点的新坐标.

3.已知点M（3，2）和点P（4，-1），求点M关于点P的对称点N的坐标.