2. 应用数学

1）常用的计算值

如表1-9所示为自然数的平方、立方、平方根、立方根、自然对数、倒数、圆周长及圆面积的计算。

2）代数中的常用公式和相互间的关系

（1）移项

a+b=c-d

a=（c-d）-b=c-d-b

c=（a+b）+d=a+b+d

d=c-（a+b）=c-a-b

（2）加减乘除

（+a）+（+b）= +（a+b）=a+b

（+a）+（-b）= +（a-b）=a-b= -（b-a）

（+a）-（+b）=（+a）+（-b）=a-b

（+a）-（-b）=（+a）+（+b）=a+b

（-a）+（-b）= -（a+b）

（-a）+（+b）= -（a-b）= +（b-a）

（-a）-（-b）=（-a）+（+b）=b-a

（-a）-（+b）=（-a）+（-b）= -（a+b）

（+a）（+b）= +ab=ab

（-a）（+b）= -ab

（+a）（-b）= -ab

（-a）（-b）= +ab=ab

（+a）÷（+b）= +

（-a）÷（+b）=

（+a）÷（-b）=

（-a）÷（-b）=

（a+b）（c+d）=ac+bc+ad+bd

（a-b）（c+d）=ac-bc+ad-bd

（a+b）（c-d）=ac+bc-ad-bd

（a-b）（c-d）=ac-bc-ad+bd

a+0=a；a-0=a

a ×0=0；=0（a≠0）

（3）分解因式

（a+b）2 =a2 +2ab+b2 =（a-b）2 +4ab

（a-b）2 =a2 -2ab+b2

a2 +b2 =（a-b）2 +2ab

a2 -b2 =（a+b）（a-b）

（a+b+c）2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc

=（a+b）2 +2（a+b）c+c2

（a-b+c）2 =a2 +b2 +c2 -2ab+2ac-2bc

（a+b）3 =a3 +3a2 b+3ab2 +b3

（a-b）3 =a3 -3a2 b+3ab2 -b3

a3 +b3 =（a+b）（a2 -ab+b2）

a3 -b3 =（a-b）（a2 +ab+b2）

（a ± b）4 =a4 ± 4a3 b+6a2 b2 ± 4ab3 +b4

a4 +b4 =（a2 +b2 +）×（a2 +b2 -）

（4）一元二次方程式求根

ax2 +bx+c=0

3）三角形的解法和常用公式

（1）三角形中重要的三线与四点

①三角形中三条重要的线，如图1-2所示。

Ⅰ. 三角形的高线。从三角形的任一顶点到对边或对边的延长线所引的垂直线（图中AD是△ABC的边BC的高线，用ha表示，AC及AB边的高分别用hb、hc来表示）。

式中 P——△ABC的半周长，P=（a+b+c）

R——△ABC的外接圆半径。

ha=2Rsinβsinγ=bsinγ=csinβ=

Ⅱ. 三角形的中线。连接三角形任一顶点与其对边中点的线段（图中AE是中线，且BE=EC，用ma 表示，mb、mc 为另外两条边的中线，未标）。

Ⅲ. 三角形的角平分线。从三角形任一顶点到对边，并把该角平分的直线（图中AF是∠α的角平分线，用la表示，lb、lc为另外两条角平分线，未标）。角平分线分角的对边为两部分和其他两边成比例：

BF∶FC=BA∶AC

②三角形中四个重要的点。

Ⅰ. 垂心。三角形的三条高线相交于一点O1，如图1-3所示。

Ⅱ. 重心。三角形的三条中线相交于一点O2，如图1-4所示，它在中线上到相应的顶点的距离是中线长度的2/3。

Ⅲ. 内心。三角形的三条角平分线相交于一点，这点又称为三角形的内切圆的圆心O3，如图1-5所示。

Ⅳ. 外心。三角形的三条边的中点上所作三条垂直线相交于一点O4，这点又称为三角形的外接圆的圆心，如图1-6所示。

（2）勾股定理

勾股定理又叫商高定理。在直角三角形中，如果知道了两条边的长度，就可以应用勾股定理求出第三条边的长度。

定理：如图1-7所示，在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即

c2 =a2 +b2

c=

同样，可以把上面公式变为：

a2 =c2 -b2

a=

b2 =c2 -a2

b=

【例1-7】 在直角三角形中，b=12 mm，a=10 mm，求c。

解：c= =15.6 mm

【例1-8】 在直角三角形中，c=20 mm，b=12 mm，求a。

解：a= =16 mm

（3）三角函数

①定义。如图1-8所示，三角函数的定义如下。

正弦：sinα=

余弦：cosα=

正切：tanα=

余切：cotα=

②基本关系。

sin2 α+cos2 α=1

tanα·cotα=1

tanα=

cotα=

③常用特殊角的三角函数值如表1-10所示。

（4）三角函数表的使用方法

在解直角三角形时，除了利用已有的几个公式外，还可以应用三角函数表的关系求它的值。也就是由已知角求函数值，或者由已知函数值求角度。三角函数表是根据各个不同角度的变化计算出来的，这个表包含0 ° ～90 °间的四个函数值。正弦和余弦表如表1-11所示，正切和余切表如表1-12所示。

应用三角函数表的说明：

①由三角函数表可以查出0 ° ～90 °每差1′的各角的正弦、余弦、正切和余切值。各表左边一直列和顶上一横行是查正弦和正切用的；右边一直列和底下一横行是查余弦和余切用的。

②76 °～90 °每差1′各角的正切以及0 ° ～14 °每差1′各角的余切，可以从表上直接查得，例如：

tan81 °34′=6.745，cot5 °46′=9.902

③查正弦、余弦以及0 °～76 °每差1′各角的正切和14 °～90 °每差1′各角的余切，需要用到表中的修正值。例如：

sin70 °32′=sin70 °30′+0.0002

=0.9426+0.0002=0.9428

注意：余弦和余切的值随着角的增加而减小。例如：

cos18 °39′=cos18 °36′-0.0003=0.9478-0.0003

=0.9475（修正值用“-”）

cos18 °39′=cos18 °42′+0.0003=0.9472+0.0003

=0.9475（修正值用“+”）

cot24 °46′=cot24 °48′+0.003=2.164+0.003

=2.167（修正值用“+”）

为了避免弄错修正值的“+”、“-”号，在查一个锐角的余弦值或余切值时，可以改查它的余角的正弦值或正切值。例如，要查cos18 °39′可以改查sin71 °21′。

④已知一个角的正弦、余弦、正切、余切，也可以利用这个表查出它所对应的锐角的度数来。

【例1-9】 已知sinA=0.5643，求∠A。

解：从表1-11上查得最接近0.5643的正弦值为0.5650，所对应的角是34 °24′；0.5650-0.5643=0.0007，在0.5650所在的横行中查得0.0007所对应的角是3′。

则∠A=34 °24′-3′=34 °21′

【例1-10】 查表求sin18 °的值。

解：查正弦表1-11，在表的左边标有A的纵列找到18 °，在上方横行找到0′，它们的查列交叉处可得到3090，为小数部分，整数部分为0（注明在表中五个横行的左边的第一栏处）。因此可得出：

sin18 °=0.3090

当所查角的角度分数不是6的整数倍时，可先在表中查得一个最接近它的角度的函数值，然后用表中右边“修正值”栏中的数值修正其差异部分。

【例1-11】 求sin15 °8′的值。

解：在表1-11中先查出sin15°6′=0.2605，再在0.2605所在横行与“修正值”栏中2′的交叉处查得修正值为“6”，把它加在0.2605的最末一位，即

sin15 °8′=0.2605+0.0006=0.2611

若是查的角度小于表中查得的最接近它的角度时，则应减去修正值。

查余弦时，所查角大于表中查得的最接近的角度，减去修正值；所查角小于表中最接近角度时，则加上修正值。正切和余切表的查表方法与正弦和余弦基本相同。

（5）直角三角形的解法

根据直角三角形的某些已知元素，可以求出其余的未知元素。

【例1-12】 在直角三角形中，已知a=32 mm，b=24 mm，求∠A和c。

解：tanA==1.333

查三角函数表得A=53 °8′

求c有两种方法：

用勾股弦定理：c==40 mm

用三角公式：c==40 mm

【例1-13】 在直角三角形中，已知c=60 mm，∠A=60 °，求a和b。

解：a=csinA=60×sin60°=60×0.866=51.96mm

b=ccosA=60×cos60°=60×0.5=30mm

【例1-14】在直角三角形中，已知b=16mm，∠A=12°14′，求a和∠B。

解：a=btanA=16×tan12°14′=16×0.216 82=3.469mm

∠B=90 °-12 °14′=77 °46′

（6）等腰三角形的解法

在三角形中，如果两条边相等，则这个三角形叫做等腰三角形，如图1-9所示。在等腰三角形中，AB=BC，∠A=∠C，它的高BD垂直且平分第三边（不等边），并将此三角形分为两个直角三角形。

【例1-15】 在等腰三角形中，AB =40 mm，∠A =50 ° 20′的等腰三角形，求∠ABD、∠C和BD。

解：∠ABD=90 °-∠A=90 °-50 °20′=39 °40′

∠C=∠A=50 °20′

BD=AB×sinA=40×sin50°20′=40×0.77=30.8mm

（7）等边三角形的解法

在三角形中，如果三条边都相等，则这个三角形就叫做等边三角形，如图1-10所示。等边三角形的三个内角都是60 °，其高平分顶角，并垂直平分底边。

【例1-16】 在等边三角形中，BD =100mm，求∠ABD和AB。

解：∠A=60 °

∠ABD=90 °-∠A=90 °-60 °=30 °

AB==115.47 mm

（8）斜三角形的解法

如图1-11所示为斜三角形。

a、b、c为三角形的各边；

α、β、γ为三角形相应对角；

R为外接圆半径；

r为内切圆半径；

S为三角形面积，S=；

P为三角形的半周长，P=（a+b+c）。

①正弦定理：

②余弦定理：

a2 =b2 +c2 -2bccosα

b2 =c2 +a2 -2cacosβ

c2 =a2 +b2 -2abcosγ

③斜三角形的计算公式如表1-13所示。

（9）常用公式

①同角三角函数间的关系：

tanα=；sin2 α+cos2 α=1

cotα=；tan2 α+1=

tanα·cotα=1；cot2 α+1=

②诱导公式如表1-14所示。

③两角和、两角差、倍角和半角的三角函数：

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

tan（α+β）=

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

tan（α-β）=

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2 α-sin2 α=1-2sin2 α=2cos2 α-1

tan2 α=

sin α2 =

cos